§ 7. Спектры модулированных колебаний

 

Перейдем теперь от общих соотношений к ряду приложений и займемся прежде всего вопросом о модуляции, играющим в современной технике очень важную роль.

Наибольшее значение имеет модуляция в технике связи. Всякий сигнал радиосвязи — будь то сигнал телеграфный, телефонный, телевизионный или любой другой — получается путем модуляции. Излучение радиостанции без модуляции подобно чистой странице, модулированное излучение подобно странице, на которой напечатаны те или иные буквы или знаки.

Большое значение имеет модуляция и в современной измерительной технике и в ряде специальных отраслей.

При передаче сигналов применяется некоторый физический агент, называемый переносчиком, и характеризующийся в отсутствие модуляции определенным числом постоянных параметров. Модуляция состоит в том, что тот или иной параметр переносчика изменяется во времени в соответствии с передаваемым сигналом. В простейшем случае, рассмотрением которого мы и ограничимся, в качестве переносчика применяется синусоидальное колебание [1]. Запишем аналитическое выражение такого колебания

                            x = с₀ sin (ω₀t + φ₀)                                                                                            (7.1)

Здесь с₀ — амплитуда, ω₀ — частота, φ₀ — начальная фаза. В смодулированном колебании эти три параметра, полностью определяющие колебание, постоянны. В принципе возможно модулировать каждую из трех названных постоянных величин; мы будем иметь соответственно амплитудную модуляцию (AM), частотную модуляцию (ЧМ) и фазовую модуляцию (ФМ). Разберем каждый вид модуляции подробно.

Воздействие, называемое модуляцией, мы можем характеризовать как умножение модулируемой величины на множитель

1 + mf(t),

где f(t) — модулирующая функция, определяемая так, чтобы │f(t) │≤ 1, а m — величина, характеризующая степень воздействия, могущая принимать значения от 0 до 1 и называемая глубиной модуляции.

При амплитудной модуляции модулированное колебание принимает вид

                                                                                      (7.2)

Начнем с простейшего случая синусоидальной модуляции, т.е. положим

ƒ(t) = sin Ωt

Подставляя в (7.2), получаем

                                                 (7.3)

Следовательно, модулированное колебание имеет дискретный спектр, состоящий из трех спектральных линий, как показано на рис.5.

Частота немодулированного колебания ω₀ носит название несущей частоты; возникшие в результате модуляции дополнительные частоты ω₀  ─ Ω и ω₀ + Ω называются боковыми частотами, или спутниками.

Итак, колебание с постоянной частотой, но с переменной амплитудой распадается на несколько синусоидальных колебаний. Напомним, что по определению синусоидальным является только колебание вида (7.1), т.е. колебание с постоянными амплитудой, частотой и фазой. Как угодно модулированная синусоида — это уже не синусоида. Эту истину можно выражать по-разному, но как бы мы ее ни формулировали, она является ключом к правильному пониманию вопросов модуляции.

Рассмотрим несколько более сложный случай, когда модулирующая функция периодична, т.е.

Тогда

Модулированное колебание состоит из несущей частоты и двух групп, называемых боковыми полосами (обе суммы п фигурных скобках). Спектр модулированного колебания изображен на рис.6.

Следует заметить, что правая боковая полоса воспроизводит спектр модулирующей функции, а левая представляет собой зеркальное отражение правой. Таким образом, при процессе модуляции осуществляется транспозиция (перенос) спектра модулирующей функции; спектр смещается на величину ω₀  по шкале частот. Общие заключения по этому поводу можно вывести из теоремы (4.6). Нам еще представится случай вернуться к этому.

Очевидно, что если несущая частота и основная частота модулирующей функции несоизмеримы, то получаемое модулированное колебание непериодично и изображенный на рис. 6 спектр квазигармоничен.

Следует добавить, что при так называемой балансной модуляции несущая частота отсутствует, и спектр состоит только из боковых полос. Математически это выражается тем, что амплитуда несущей частоты умножается не на 1 + mf(t), а просто на f(t). Действительно, слагающая несущей частоты появляется в модуляционном спектре только за счет постоянной составляющей в выражении 1 + mf(t). При балансной модуляции осуществляется простое перемножение модулирующей функции на колебание несущей частоты. Представим последнее в виде

.

Для балансно-модулированного колебания получим

Воспользовавшись теоремой (4.6), найдем, что спектр модулированного колебания есть

где S(ω) — спектр модулирующей функции f(t). Два члена в квадратных скобках выражают обе боковые полосы.

Представляет интерес вопрос о ширине модуляционного спектра; этот вопрос рассмотрен в добавлении I.

Перейдем к несколько более трудному вопросу о частотной модуляции. Нужно сказать, что история развития теории модуляции дает наибольшее количество примеров путаницы в понятиях, связанной с неправильным применением спектрального воззрения на колебания. Даже сравнительно простая амплитудная модуляция послужила (и притом не так давно) поводом для совершенно ошибочных высказываний. Еще хуже обстояло дело с частотной модуляцией. Сущности дела долго не понимали инженеры и исследователи. Поучительно воспроизвести распространенное в свое время рассуждение о свойствах частотной модуляции: при частотной модуляции мы имеем колебание, частота которого непрерывно изменяется в пределах заданного нами интервала ω₀ ± ∆ω; от частоты модуляции _Ω зависит частота изменения несущей частоты, но не величина этого изменения. Стало быть, спектр колебания должен быть сплошным (так как частота пробегает все значения в пределах интервала ω₀ ± ∆ω), а ширина спектра должна составлять 2∆ω. А так как эта ширина назначается нами произвольно, то можно сократить полосу, занимаемую на шкале частот передающей радиостанцией.

Все здесь неверно: и спектр получается не сплошной, а дискретный, и ширина его при узком интервале 2∆ω (так называемая полоса качания) не зависит вовсе от величины этого интервала, а определяется, как и в случае AM, шириной спектра модулирующей функции. Наконец, когда ЧМ получила практическое применение, то оказалось, что, имея значительные специфические преимущества, она требует полосы раз в 15 — 20 более широкой, чем та, которая отпускается по международным правилам на AM.

Выведем теперь основные соотношения. Предположим, что частота модулируется по косинусоидальному закону

где ∆ω — частотное отклонение, а ∆ω/ω₀ — относительное изменение, т.е. глубина модуляции частоты.

По своему определению круговая частота есть производная по времени от аргумента тригонометрической функции, представляющей колебание. Поэтому мы можем записать для частотно-модулированного колебания при синусоидальной модуляции

               (7.4)

где β = ∆ω/Ω — так называемый индекс модуляции.

Рассмотрим сначала соотношения при малом индексе β. Заменяя в (7.4) cos и sin малого аргумента соответственно единицей и самим аргументом, получим

т.е. выражение, ничем не отличающееся от выражения для AM колебания. Спектр ЧМ колебания при синусоидальной модуляции с малым индексом, так же как и спектр AM колебания, состоит из несущей частоты и двух спутников с частотами ω₀ ± Ω. Обратимся теперь к общему случаю, т.е. к случаю произвольного индекса β.

Используя известные формулы теории бесселевых функций [2]

найдем:

Перемножая под знаками сумм, получим окончательно

                                  (7.5)

Мы имеем, таким образом, колебание с линейчатым спектром. В отличие от AM здесь при синусоидальной модуляции возникает бесконечный спектр. Однако практически он ограничен. Дело в том, что, как видим, амплитуды гармоник пропорциональны, а эти функции обладают своеобразным свойством: они Ј_k(β), сохраняют весьма малое значение до значений β тем больших, чем выше порядок k.

В практике пользуются понятием действительной ширины полосы, занимаемой спектром ЧМ колебания. Действительная ширина есть интервал на шкале частот, вне которого гармоники имеют относительную величину ≤ 0,01. Пользуясь таблицами бесселевых функций, можно найти границы этого интервала, а также его зависимость от индекса модуляции β.

Эта зависимость имеет, очевидно, ступенчатый характер: ее сглаженный график показан на рис. 7. По оси ординат

 

Рис. 7

отложено обозначенное через δ отношение половины действительной ширины спектра модулированного колебания (т.е. ширины одной боковой полосы) к ширине спектра модулирующей функции. По оси абсцисс отложен индекс модуляции β. Нужно заметить, что представленная на рис. 7 зависимость с достаточной для практических надобностей точностью аппроксимируется простой формулой

δ = l + β

Кривая зависимости δ от β вписывается в угол, образованный двумя прямыми. Горизонтальная прямая δ = 1 отвечает условиям, существующим при амплитудной модуляции; как мы уже знаем, при AM ширина полосы, занимаемой модуляционным спектром, всегда равна двойной ширине спектра модулирующей функции. Наклонная прямая δ = β является асимптотой нашей кривой при возрастающем β. Как видим, в пределе действительно ширина спектра делается равной полосе качания. Однако это соотношение достигается как раз при очень больших β, тогда как в вышеприведенном высказывании ожидалось, что это соотношение можно получить при очень малых β, на чем и основывалась предполагаемая возможность сужения полосы частот за счет применения ЧМ. В действительности же при ЧМ величина δ всегда больше единицы; другими словами, полоса частот, занимаемая спектром, при ЧМ всегда больше, чем полоса частот при AM. Только при самых малых β полосы сравниваются.

При малых β спектр модулированного колебания при ЧМ получается бедный, практически не отличающийся от спектра при AM, — при синусоидальной модуляции он состоит практически из двух боковых линий (остальные очень малы).

Такое положение сохраняется до тех пор, пока δ мало отличается от единицы. В дальнейшем число достигающих заметной величины гармоник растет. Величина δ непосредственно выражает число этих гармоник.

Интересно проследить вид спектра при больших значениях δ и β. На рис. 8 показаны спектры при синусоидальной ЧМ для β = 5 и 25.

Считая наибольшее значение ∆ƒ =  = 75 кгц, получим, что β = 5 соответствует модулирующей частоте F = Ω = 15 кгц, а β = 25 соответствует частоте F = 3 кгц. На рис. 8 отмечена полоса качания 2∆ω. Как видим, действительная ширина спектра, равная 2δΩ, приближается к полосе качания. Величина 2δΩ также отмечена на рисунке. Два спектра на рис. 8 отвечают соотношениям между δ и β отмеченным соответствующими двумя точками на кривой рис.7.

Читатель, не привыкший иметь дело с колебаниями переменной частоты, может быть, испытает затруднения с истолкованием выражения

Мы поясним этот пункт, рассмотрев простой пример. Предположим, что имеется правильно записанная фонограмма чистого тона, т.е. синусоидального колебания. Пусть теперь эта фонограмма воспроизводится на аппарате, в котором линейная скорость продвижения фонограммы непостоянна. Возникающие при этом искажения представляют собой, как известно, не что иное, как результат частотной модуляции. Выведем соответствующие соотношения. Положим, что записано колебание

y = sin ω₀t,

Фонограмма, полученная при постоянной линейной скорости υ₀, выражается формулой

z = sin 2π

где x = υ₀t — координата, отсчитываемая вдоль фонограммы,  — длина записанной волны. Пусть теперь при воспроизведении фонограмма движется с переменной скоростью υ(t). Читающий орган, например оптическая щель, воспринимает величину

ζ = sin 2π

Где ζ — ордината фонограммы в точке ξ; ξ — путь, пройденный щелью относительно фонограммы (рис 9).

Но этот путь, очевидно, равен

и, следовательно,

[Это совершенно аналогично выражению . Ведь  — это угол, на который поворачивается за время t вектор, вращающийся с переменной угловой скоростью ω.] Если, например,

^,

^то

т.е. имеется типичное частотно-модулированное колебание [ср. (7.4.)]. В этом выражении

∆ω =  ∆v = ω₀

Обратимся теперь к фазовой модуляции. По общему определению мы должны, взяв немодулированное колебание

заменить в нем φ₀ величиной

Тогда мы получим

                                                                                      (7.6)

Для частотной модуляции, вводя переменную частоту

мы получили бы

                                                          (7.7)

Сравнивая (7.6) и (7.7), видим, что ФМ и ЧМ в сущности дают совершенно одинакового вида колебания. Разница заключается лишь в том, что при ФМ в аргумент синусоидальной функции входит модулирующая функция f(t), а при ЧМ — ее интеграл.

Если модуляция синусоидальна, то разницы в форме модулированных колебаний и их спектрах вообще усмотреть нельзя, так как интеграл от синусоиды есть косинусоида, т.е. опять-таки синусоида, лишь сдвинутая по фазе на π/2. Различие все же есть, но более тонкое. Дело в том, что если

ƒ(t) = sin Ωt,

то

F(t) = ─ cos Ω t

Появление множителя  означает необходимость введения соответствующих корректирующих цепей.

Если предположить, что дискриминаторы, т.е. элементы, превращающие ФМ и ЧМ в AM, ведут себя одинаково, то в дальнейшей схеме приемника ФМ должно быть добавлено одно интегрирующее звено по сравнению с аналогичной схемой приемника ЧМ.

Дальнейшее сравнение ФМ и ЧМ завело бы нас очень далеко в специальные области современной радиотехники.

Мы ограничимся высказанными общими соображениями и попытаемся лишь в заключение пояснить различие между всеми тремя видами модуляции по возможности наглядным образом.

Как уже говорилось, при синусоидальной ЧМ и ФМ различия в форме модулированных колебаний усмотреть нельзя. Но различие это обнаруживается при более сложном законе модуляции, т.е. когда модулирующая функция обладает более или менее богатым спектром. Предположим, что модулирующая функция представляет собой импульс следующего вида:

Тогда при t = a скачком изменится амплитуда при AM, частота при ЧМ и фаза при ФМ.

Обратное скачкообразное изменение до первоначальных значений произойдет при t = b. Это изображено на рис. 10. Как видим, имеется различие между модулированными колебаниями в случае ЧМ и ФМ. Заметим кстати, что скачкообразное изменение фазы можно толковать как результат бесконечно быстрого изменения частоты на протяжении бесконечно малого промежутка времени. В конце концов все это сводится опять к основным определениям

 

 

предыдущая                           оглавление                      следующая